Interés Compuesto

 

II. INTERÉS COMPUESTO

El interés es compuesto cuando después de cada cierto tiempo se suman al capital los intereses simples correspondientes, constituyéndose después de cada operación nuevos capitales que, a la vez, ganan nuevos intereses desde el período siguiente. El hecho de sumar el interés simple al capital se denomina capitalización. En este Capítulo se estudia, fundamentalmente, el caso de capitalización sistemática, o que significa capitalización en intervalos regulares de tiempo y a una tasa de interés determinada.

Símbolos y Fórmulas Básicas.

c   : Capital Inicial, valor presente (P)

i    : Tasa de Interés Nominal Anual (tanto por uno)

n   : Tiempo Expresado en años.

Y  : Interés Compuesto (M-c).

q   : Número de Periodos de Capitalización o número de capitalizaciones en el año.

    : Tasa de Interés proporcional

i’  : Tasa de Interés Efectiva.

i_q  : Tasa de interés Equivalente.

M : Monto a Interés Compuesto (c + Y), valor futuro (F)

Monto con interés compuesto.

El monto con interés compuesto se construye con la acumulación sucesiva de  los intereses simples producidos en cada período, donde se consideran: n = 1 y q = 1. En efecto, dado un capital M colocado a interés compuesto a la tasa de interés anual i (tanto por uno), se construye el mondo de la siguiente manera: Al fin del primer año el capital ganará el interés I, que puede denominarse I₁, para lo cual se aplica la fórmula 2) I = cin , siendo n = 1  ;  I₁  = c.i.1 = ci, este interés se suma al capital inicial c, con la cual se tiene un nuevo capital al fin del primer año, o lo que es lo mismo decir, al comienzo del segundo año; c + I₁ ; c + ci, factorizando  se tiene: c + ci = c(1 + i).

 El nuevo capital formado al fin del primer año c(1 + i), ganará en el segundo año el interés correspondiente para n = 1, cuyo cálculo se efectúa con la misma fórmula 2) I = cin, donde la única variante es el capital que ya ha adquirido el valor c(1 + i), por lo tanto, el interés correspondiente en el segundo año estará dado por  I₂ = c(1 + i)i.1 = c(1 + i)i, este interés se suma al capital formado al fin del primer año, obteniéndose el nuevo capital al fin del segundo año; c(1 + i) + c(1 + i)i, factorizando esta suma algebraica se tiene la expresión con exponente que es la característica del interés compuesto:    

c(1 + i) + c(1 + i)i = (c + ci)(1 + i) = c(1 + i)(1 + i) = c(1 + i)²                                                                                                                                                                                                                

El capital constituido al fin del segundo año o comienzo del tercero, c(1 + i)², ganará intereses en el tercer año, cuyo valor se determina con el mismo régimen  de cálculo, con la fórmula 2), considerándose el capital c(1 +  i)² ; I₃ = c(1 + i)²i, sumando los intereses al capital se tiene:

c(1 + i)²  + c(1 + i)²i = (c + ci)(1 + i)² = c(1 + i)²(1 + i) = c(1 + i)³, capital formado al fin del tercer año.

Puede observarse que el exponente de (1 + i)  es igual al número de años o períodos de la operación, por lo tanto, se puede concluir que el capital con los intereses acumulados  al cabo de n años o períodos será igual a , al cual se le asigna el símbolo (M) como Monto a interés compuesto, con lo que resulta la fórmula 15) M = . En resumen, la marcha de la formación del Monto A interés compuesto tiene el siguiente esquema

 

Año	Al comienzo de cada año	Al final de cada año
1	c
2
3
…..	……….	……….
…..	……….	……….
n

Observación: El concepto desarrollado para la formación del Monto cuando q = 1, vale decir, con capitalización anual de los intereses, es igualmente aplicable para cualquier período de capitalización, a condición de que la tasa de interés quede definida para el mismo período de capitalización que se adopte. Esto es, en la fórmula 15) M = , si la capitalización tenga que realizarse en forma mensual n representará meses y no años, en cuyo caso la tasa de interés i necesariamente debe ser tasa mensual.  

El interés compuesto, objeto de este Capítulo, cualquiera sea el régimen de capitalización adoptado, se obtiene con sólo restar del Monto obtenido el capital inicial que le ha dado origen, el cual queda definido por la relación  16) M – c    ;    17) Y =  

No obstante lo observado, como la tasa de interés con más frecuencia se adopta en términos anuales, combinado con la información de que la capitalización ha de realizarse en períodos menores que un año; por ejemplo, en forma mensual, trimestral, semestral o cualquier otro período de tiempo, entonces surge la necesidad de incorporar en la fórmula 15) el elemento q, de manera a transformar tanto la tasa anual a la tasa proporcional correspondiente, como el tiempo dado en años, expresar en la misma unidad de tiempo para la capitalización, dándose

entonces los elementos i/ q y nq, con los cuales la fórmula se transforma en: 18) M =    

En ambas fórmulas, los exponentes n y nq indican el número de capitalizaciones para todo el tiempo que ha de durar la operación, a las tasas respectivas de i e i/q.

Con el mismo criterio y el capitalización anual, el interés compuesto  queda definido por la diferencia entre el Monto y el capital inicial correspondiente. 19) Y =  

En resumen se tiene las siguientes formulas

Para q = 1, se tiene: 15) M = c(1+i)ⁿ     ;     16) Y = M – c     ;     17) Y = c[(1+i)ⁿ-1]

Para q > 1:  : Tasa de interés proporcional, por tanto por uno.

n.q: Número total de períodos de capitalización, vale decir, número total de capitalizaciones.

18) M =        ;     Y = M – c     ;     19) Y = c[(1+ )^n.q-1]

De la formula básicas, despejando se determinan los demás elementos:

De la fórmula 15) M = c(1+i)ⁿ, se obtienen las siguientes fórmulas derivadas:

20) c =      ;     c(1+i)ⁿ = M     ;     (1+i)ⁿ =      ;     n.log(1+i) = logM – logc

21) n =   el cual puede ser expresado de esta forma 21) n =   

Para determinar la tasa de interés:

M = c(1+i)ⁿ      ;       = (1+i)ⁿ      ;      =      ;        = 1+i

22) i =  -1   =   para determinar la tasa de interés también puede plantearse la solución con el uso de los logaritmos, en cuyo caso la solución estará dada por el antilogaritmo correspondiente.

De la fórmula 18) M =  , se obtienen las siguientes fórmulas derivadas:

23) c =          ;         c  = M          ;           =        

nq.log  =        ;        24) n=

Para determinar la tasa de interés:

M = c         ;              =            ;             =      

  =             ;            -1 =                   ;            25) i =  

Tasa efectiva y tasa equivalente

* La tasa de interés anual efectiva (i´) es el resultado o efecto de las capitalizaciones que se realizan durante el año, es la tasa de interés real que resulta en el año. Si la capitalización se realiza anualmente, la tasa de interés efectiva es igual a la tasa de interés  nominal, en consecuencia, la relación es la siguiente i´ ≥ i. La fórmula correspondiente a la tasa de interés efectiva en función a la tasa de interés nominal (i) es la siguiente:

26) i´= - 1, donde q es el número de capitalizaciones que se realizan en un año.

* La tasa de interés proporcional  es el resultado de dividir la tasa de interés nominal con el número de capitalizaciones

* La tasa de interés equivalente (i_q), es la tasa de interés que se utiliza en cada período de capitalización, tal que, al final del año, el efecto de la capitalización no altere la tasa de interés nominal anual establecida. Por tal motivo, la tasa de interés equivalente necesariamente debe ser menor que la tasa de interés proporcional,  i_q < . La fórmula correspondiente en función a la tasa de interés nominal (i), es la siguiente:   27) i_q =

Si se capitalizase daría la tasa nominal: i = - 1

 

Monto con capitalización continua y cuando el tiempo es fraccionario

* Cuando la capitalización se realiza en pequeña fracción del tiempo, tan pequeña como se pueda pensar, aumenta q infinitamente que tiende a un valor limite, infinito (∞) y, por lo tanto,  tiende a un valor cero, mientras que nq tiende a un valor muy grande, infinito (∞)

La fórmula correspondiente es la siguiente: 28) M = ceⁱⁿ , Monto con Capitalización continua donde (e) es la base de los logaritmos naturales o Neperianos: e = 2,71828…;   loge = 0,43429

El monto logrado con el régimen de capitalización continua es el máximo monto que se puede obtener para un capital, en un plazo determinado y a una tasa de interés determinada.

Cuando el tiempo es fraccionario, es decir, cuando el exponente de (1+i), n ó nq, resulta fraccionario, se tienen dos opciones de cálculo: 1°) Puede calcularse el Monto considerando el exponente fraccionario, tal como resulta de los datos del problema, y 2°) Considerando un compuesto correspondiente al número entero del período de tiempo considerando y el monto final a interés simple para la parte fraccionaria del tiempo este último toma como capital inicial el monto a interés compuesto logrado hasta el número entero del tiempo dado como dato del problema.

1°) 29) M = c(1+i)^n´+p/k , monto utilizando exponente fraccionario.

2°) 30) M = c(1+i)^n´(1+ ), monto en régimen mixto.

: Fracción de año o el período considerado.

 Para la interpretación de los resultados que entregan ambas fórmulas, es importante saber las siguientes relaciones existentes entre los intereses simples (I) y compuesto (Y).

1º) Para n = 1,    I = Y      ;     2º) Para n > 1,     I < Y     ;    3º)  Para n < 1,     I > Y

Debido a estas relaciones, el monto dado con el régimen mixto es mayor que el monto dado con el régimen de cálculo con exponente fraccionario.

Factores de capitalización y de descuento

En el monto dado en la fórmula 15) M = , si se considera la unidad de capital, c = 1, la fórmula se convierte el a siguiente: M = . Este segundo miembro , se denomina Factor singular de capitalización y para ciertas tasas de interés se tienen tabulados los resultados en las llamadas tablas financieras. La recíproca de esta expresión, generalmente, se determina con la ecuación    , y se denomina Factor Singular de Actualización o Factor de Descuento Compuesto, cuyo tratamento se encuentra en el Capítulo III de este material.

Factores singulares de Capitalización

31) , considerando i/q y nq se tiene 32)

Factores singulares de Descuento o Actualización

33)       ;      34)      

 

17)             Determinar el interés compuesto producido por un capital de G 1.000.000 en 3 años al 10%  de interés anual. La capitalización se realiza anualmente.

Datos:     c = 1.000.000     i = 0,10    ;    n = 3     ;     q = 1     ;    Y = ? 

Se aplica da fórmula 17) Y = c [(1+i)ⁿ – 1]     ;    Y = 1.000.000[(1+0,10)³ – 1]

Y = 1.000.000(1,331 – 1)    ;    1.000.000 x 0,331

Solución: Y = G 331.000

Comprobación

En el cuadro calcularemos los intereses simples para cada periodo, para ello necesitamos también el saldo de la cuenda en cada periodo como base para el cálculo de los intereses para el siguiente periodo.

Años	Intereses	Saldo a fin de cada periodo
0		c
1	I1 = c.i	c1 = c0 + I1  = A1
2	I2 = c1.i	c2 = c1 + I2  = A2
3	I3 = c2.i	c3 = c2 + I3  = A3 = M
Totales	= Y

En este caso n en la fórmula de cin no tiene relevancia, cono se capitaliza en periodos regulares adquiere el valor 1 y la formula de interés simple queda así I = ci.

Años                    n	Intereses                          I	Saldo a fin de c/p
0		1.000.000
1	100.000	1.100.000
2	110.000	1.210.000
3	121.000	1.331.000
Total	331.000

La sumatoria de los intereses simples para cada periodo constituye el interés compuesto producido por este capital hasta el 3 año.

El monto final de la columna de saldo es igual al M monto constituido a interés compuesto

Como ya aviamos definido el interés es compuesto cuando después de cada cierto tiempo se suman al capital los intereses simples correspondientes, constituyéndose después de cada operación nuevos capitales que, a la vez, ganan nuevos intereses desde el período siguiente. El hecho de sumar el interés simple al capital se denomina capitalización.

 

 

 

18)             Determinar el interés al cabo de 5 años, si se coloca un capital de G 500.000 al 8% de interés anual con capitalización trimestral de intereses.

Datos:     c = 500.000     i = 0,08    ;    n = 5     ;     q = 4     ;     Y = ?

Se aplica la formula 19) c      ;     Y = 500.000

Y = 500.000     ;    Y = 500.000    ;

Y = 500.000(1,485947 – 1)

Solución: Y = G 242.974 (valor redondeado)

19)             Calcular el capital definitivo que se puede obtener al cabo de 10 años, si se coloca un capital de G 3.000.000 al 6% de interés anual con capitalización semestral de intereses.

Datos      c = 3.000.000    ;     i = 0,06     ;     q = 2     ;     n = 10    ;     M = ?

M = c     ;     M = 3.000.000     ;     M = 3.000.000(1,03)²⁰

Solución: M = G 5.418.334 (valor redondeado).

c = 3.000.000                                                                                                M = 5.418.334                                        

                                                                                                                                

___________________________________________________________          

 

 Hoy                                                                                                             10

 

                                                          n = 10          

20)             Determinar el capital definitivo que se puede obtener al cabo de 18 meses, si se depositan, hoy G 5.000.000 y un año después G 7.500.000. Tasa de interés anual 12%.

 

c₁ =5.000.000                                                  c₂ = 7.500.000                                      

                                                                                            n₂ = 6/12 

 

                     

____________________________________________________________        

 

 Hoy                              6                                   12                                       18

 

 

                                                          n₁ = 18/12           

puede observarse que el primer depósito de G 5.000.000 estará colocado durante un año y medio (18 meses), y el segundo depósito solamente estará colocado durante 6 meses, por lo tanto, se tienen los siguientes elementos:

Datos:    c₁ = 5.000.000     ;      i = 0,12     ;        n₁ = 18/12          ;       M₁ = ?        

                c₂ = 7.500.000     ;      i = 0,12    ;         n₂ = 6/12            ;        M₂ = ?              

La solución está dada por la suma de los montos: M = M₁  + M₂

1°) Se determina M₁, con la fórmula, M =

M₁ = c₁(1 + in)     ;     M₁ = 5.000.000      = 5.926.483

2°) Se determina M₂, con la misma fórmula aplicada para M₁   

M₂ = c₂(1 + in)     ;    M₂ = 7.500.000   = 7.937.254

Solución: M = M₁ +M₂     ;    M = 5.926.483 + 7.937.254 = 13.863.737, capital definitivo al cabo de 18 meses.

Solución: M = G 13.863.737

21)             Determina el monto que se puede obtener al cabo de 4 años, si se colocan, hoy G 10.000.000 y al fin del primer año G 20.000.000, al 12% de interés anual con capitalización semestral de intereses. Para ayudar la interpretación se construye el siguiente gráfico:

 c₁ = 10.000.000        c₂ =  20.000.000                   

                                                                                n₂ = 3

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Hoy                          1                               2                                3                                4   

                 

                                                               n₁ =  4

El gráfico ilustra que el capital c₁  estará colocado durante 4 años (n₁ = 4) y el capital c₂ durante 3 años (n₂ = 3), por tanto, se tiene:

Datos:

c₁ = 10.000.000     ;      i = 0,12     ;        q = 2      ;      n₁ = 4        ;       M₁ = ?        

c₂ = 20.000.000     ;      i = 0,12     ;        q = 2      ;      n₂ = 3        ;       M₂ = ?

La solución está dada por la suma de los montos: M₁ y M₂

1°) M₁ = c₁     ;   M₁ = 10.000.000    ;    M₁ = 10.000.000(1,06)⁸

2°) M₂ = c₂    ;    M₂ = 20.000.000    ;    M₂ = 20.000.000(1,06)⁶

3°) M = M₁ + M₂        ;      10.000.000(1,06)⁸ + 20.000.000(1,06)⁶

M = 10.000.000(1,593848) + 20.000.000(1,418519)

Solución: M = G 44.308.860

22)             Calcular los montos que pueden obtenerse si se coloca $ 1.500.000 durante 27 meses, al 8% de interés anual, con capitalización anual de intereses, aplicando las dos fórmulas

Datos:     M = 1.500.000     i = 0,08    ;    n =      ;    M = ?

Formula 29) M = c(1+i)^n´+p/k

1°) 1.500.000   ;      n +  =

Se divide el exponente: M = (1,08)^2,25       

C = 1.500.000(1,189059)     

Solución: C₁ = $ 1.783.589

En el segundo caso se utiliza la fórmula de régimen mixto: 30) M = c(1+i)^n´(1+ )

n +  =  = 2 +      ;     p = 3 meses     ;      k = 12 meses

2°) 30) M = 1.500.000(1+0,08)²      

C = 1.500.000(1,08)²      ;     1.500.000(1,08)²

Solución: C₂ = $ 1.784.592

En este segundo caso lo que se aplica es una combinación de las fórmulas de montos a interés compuesto (parte entera del año) y a interés simple (parte fraccionaria de año).

Puede observase, además, por lo ya indicado en la parte inicial de este Capítulo; que el monto en segundo caso es mayor, porque: n < 1   ;   I >Y

23)             Determinar las tasas, efectiva y equivalente, correspondientes a la tasa de interés anual del 5%, con capitalización trimestral.

1°) Se aplica la fórmula: i´= 26) i´= - 1, para q = 4

i´= - 1    ;     i´= - 1     ;      i´= 0,050945 es la tasa efectiva, es decir el rendimiento real que se puede generar en estas condiciones 

 2°) Se aplica la fórmula: 27) i_q = , para q = 4

i₄ =     ;     i₄ = 1,0122722    ;   

Solución, segunda parte: i₄ = 0,0122722

i₄ = 0,01227223443 es la tasa equivalente trimestral la que si se capitalizase daría la tasa nominal. Realicemos la prueba

i = - 1    ;     i =  - 1   ;     i = 0,05

24)             Determinar el mayor monto que se puede obtener en 5 años a la tasa del 6% de interés anual, correspondiente a un capital de US$ 750.000.

El mayor monto se obtiene cuando la capitalización es continua, por lo tanto, se aplica la formula 28) M = ceⁱⁿ

Datos: c = 750.000     ;    i = 0,06     ;     n = 5    ;    M = ?

M = 750.000e^0,06x5     ;     M = 750.000x2,71828^0,30     ;      M = 1.012.394,11

Solución: M = US$ 1.012.394,11

 

25)             ¿Cuántos años tardarán para que un capital de $ 400.000, se convierta en $ 600.292,16; colocado al 7% de interés anual, con capitalización anual de intereses?

A partir de la fórmula del monto se determina n

Datos: c = 400.000     ;     M = 600.292,16     ;    i = 0,07    ;     n = ?

De la formula 15) M = c(1+i)ⁿ, despejamos n   

c(1+i)ⁿ = M    ;    (1+i)ⁿ =     ;    n.log(1+i) = log   

de esta forma queda la Formula: 21) n =          

n =       ;    n =      ;     n =    

Solución: n = 6 años

26)             Un capital de US$ 500.000, colocado en un banco, se convierte en US$ 800.516,11 en 12 años. Determinar la tasa de interés anual, sabiendo que los intereses se capitalizan anualmente.

A partir de la fórmula del Monto 15) M = c(1+i)ⁿ , se determina i

Datos: c = 500.000     ;     M = 800.516,11     ;    i = ?    ;     n = 12     

Se aplica la fórmula 22) i =  -1   

i =  -1     ;     i =  -1    ;     i =  -1     ;     i = 1,04 -1

Solución: i = 0,04

27)             ¿Qué le conviene más a un inversionista que dispone de Gs 50.000.000?

a) Colocar al 34% anual, con capitalización anual.

b) Colocar al 31% recibiendo los intereses cada 3 meses

c) Colocar al 30% anual, con capitalización diaria

Datos: c = 50.000.000      ;      i₁ = 0,34     ;     q₂ = 1       ;      i´₁ = ?

                                                 i₂ = 0,31     ;     q₂ = 4       ;     i´₂ = ?    

                                                 i₃ = 0,30     ;     q₃ = 360   ;     i´₃ = ?    

La solución está dada por la tasa de interés efectiva más alta pues es la que retribuye más al inversionista, sin importar la cuantía de la inversión

Se aplica la fórmula 26) i´= - 1

a)  i´₁ = i  (Ambos son idénticos, pues la capitalización es anual): i´₁ = 0,34

b) i´₂ = - 1      ;     i´₂ = - 1         ;     i´₂ = 0,3479

c) i´₃ = - 1      ;     i´₃ = - 1      ;      i´₃ = 0,3497

Solución: La mejor opción es la “c”

28)             Una persona desea obtener un préstamo de Gs 50.000.000 a un año, para realizar una inversión. Tres instituciones bancarias le ofrecen el préstamo con las siguientes condiciones respectivamente.

a) Al 33% anual, con capitalización anual.

b) Al 30% recibiendo los intereses cada 6 meses

c) Al 29% anual, con capitalización diaria

¿Cuál es su mejor opción?

Datos:      c = 50.000.000      ;      i₁ = 0,33     ;     q₁ = 1       ;      i´₁ = ?

                                                      i₂ = 0,30     ;     q₂ = 2       ;      i´₂ = ?    

                                                      i₃ = 0,29     ;     q₃ = 360   ;      i´₃ = ?    

La solución está dada por la tasa de interés efectiva más baja pues es la que le cuesta menos al prestatario, a aquel que usa el dinero, sin importar la cuantía de la préstamo.

a)  i´₁ = i  (Ambos son idénticos, pues la capitalización es anual) i´₁ = 0,33

b) i´₂ = - 1      ;     i´₂ = - 1         ;     i´₂ = 0,3225

c) i´₃ = - 1      ;     i´₃ = - 1      ;      i´₃ = 0,3362

Solución: La mejor opción es la “b”

29)             Un capital colocado al 5% de interés anual compuesto se convierte, al cabo de 7 años, en                    G 1.702.591,50. Determinar el capital inicial.

A partir de la fórmula del Monto se determina c: 15) M = c(1+i)ⁿ   ;    c =     

Datos: c = ?    ;     i = 0,05     ;     n = 7    ;    M = 1.702.591,50

c =      ;     c =      ;     c = 1.209.999,992 ≈ 1.210.000

Solución: c = G 1.210.000

 

 

 

 

30)             Un capital de G 3.200.000 se coloca a interés compuesto durante 15 años. Determinar el capital definitivo que se obtendrá al fin de los 15 años, sabiendo que la tasa de interés de los 5 primeros años es el 5%, los 5 años siguientes el 7% y los últimos 5 años es el 8%.

Para ayudar a la interpretación del problema se construye el siguiente gráfico.

c = 3.200.000                   c(1+i₁)⁵                             c(1+i₁)⁵(1+i₂)⁵                   c(1+i₁)⁵(1+i₂)⁵(1+i₃)⁵                                            

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Hoy                                  5                                             10                                         15        

                i₁ = 0,05                               i₂ = 0,07                                i₃ = 0,08

                                                          

                n₁ = 5                                   n₂ = 5                                     n₃ = 5

Obsérvese que al fin de cada cinco años, se constituyen montos a diferentes tasas.

La solución del problema está dada por el monto obtenido al final del año 15

M = c(1+i₁)⁵(1+i₂)⁵(1+i₃)⁵   ;   M = 3.200.000(1+0,05)⁵(1+0,07)⁵(1+0,08)⁵   

M = 3.200.000(1,05)⁵(1,07)⁵(1,08)⁵   

M = 3.200.000(1,276281563)(1,0402551731)(1,469328077)

M = 3.200.000(2,630172067)    

Solución: M = 8.416.551, monto al final del 15 año.

31)             El interés compuesto sobre un capital de US$ 390.625, calculado por 2 años y a una cierta tasa de interés anual, excede en US$ al interés simple calculado sobre el mismo capital, a la misma tasa de interés anual u por el mismo periodo de tiempo. Calcular la tasa de interés anual.

Datos: c = 390.625    ;     i = ?     ;     n = 2    ;    Y = ?

           c = 390.625    ;     i = ?    ;      n = 2    ;    I = ?

Se establece el excesos del interés compuesto sobre el interés simple Y – I = 625

Se aplican las fórmulas correspondientes.

1°) 17) Y = c[(1+i)ⁿ-1]    ;    Y = 390.625[(1+i)²-1] 

2°) 2) I=cin     ;     I=390.625i2     ;    I = 781.250i

3°) Se sustituyen en la diferencia:  Y – I = 625

390.625[(1+i)²-1] - 781.250i = 625, se desarrolla (1+i)²

390.625(1+2i+i² -1) - 781.250i = 625

781.250i +390.625i² - 781.250i = 625    ;     390.625i² = 625

i² =      ;    i² = 0,0016    ;    i =

Solución: i = 0,04

32)             Una persona efectuará los siguientes depósitos en un banco, hoy G 160.000 y dentro de un año G 140.000. Determinar la tasa de interés de la operación, sabiendo que la persona retirará al cabo de dos años, a contar de hoy, G 330.576, en concepto de capitales e intereses compuestos.

Para ayudar a la interpretación se construye el siguiente gráfico.

c₁ = 160.000                                              c₂ =  140.000                   

                                                                                                         n₂ = 1

______________________­­______________________________________________

Hoy                                                           1                                                                   2   

                 

                                                               n₁ =  2

El gráfico ilustra que c₁ estará colocado durante dos años (n₁ = 2) y c₂ durante un año (n₂ = 1), por lo tanto, se tienen como datos los siguientes elementos:

c₁ = 160.000     ;     i = ?     ;    n₁ = 2    ;    M₁     ;    15) M₁ = c₁(1+i   

c₂ = 140.000     ;     i = ?     ;    n₂ = 1    ;    M₂     ;    15) M₂ = c₂(1+i   

Se sabe que M₁ + M₂ = 330.576

Se determinan M₁ + M₂, en función de la tasa de interés y se sustituyen por sus iguales.

1°) M₁ = c₁(1+i      ;    M₁ = 160.000(1+i      

2°) M₂ = c₂(1+i      ;    M₂ = 140.000(1+i

3°) 160.000(1+i

Para facilitar la resolución de la ecuación se hace; (1+i

160.000  + 140.000x – 330.576 = 0 , se divide entre 20.000.       + 7x – 16,5288 = 0   

Se aplica la ecuación cuadrática para hallar los posibles resultados de x

 =       ;       =      ;     =

                                         ₁ =      ;     ₁ = 1,065  

 =      ;   

                                    ₂ =    ;     ₂ = -1,94 (no corresponde por ser negativo)   

Como x sustituyo a (1+i

1+i      ;     1+i     ;    i = 1,065 - 1    

Solución: i = 0,065

 

33)             ¿En cuánto tiempo se duplicará un capital colocado al 2% de interés anual compuesto?

Datos:     c = c    ;     i = 0,02    ;    n = ?    ;    M = 2c

Se aplica la fórmula del Monto: 15) M = c(1+i)ⁿ  

M, se sustituye por 2c, por la condición del problema: c(1+i)ⁿ = 2c, se simplifica c

c(1+i)ⁿ = 2c     ;     (1+i)ⁿ =              ;     (1+i)ⁿ = 2

(1+i)ⁿ = 2         ;    (1+0,02)ⁿ = 2        ;    (1,02)ⁿ = 2

(1,02)ⁿ = 2       ;     nlog1,02 = log2    ;    n =  =  = 35,00348

Solución = 35 años.

34)              Un capital de US$ 32.500 ha estado colocado durante 12 años en una institución bancaria al 8% de interés anual compuesto. Determinar el interés ganado en los dos últimos años.

La solución del problema está dada por la diferencia de los montos calculados hasta 10 y 12 años, respectivamente, conforme se aprecia en el siguiente esquema:

     c = 32.500                                      n₁ = 10                                                    M₁                               M₂     

 

 Hoy          1          2          3          4          5          6          7          8          9         10        11         12

 

 

                                                                          n₂ = 12

Datos:

c = 32.500    ;    i = 0,08   ;    n₁ = 10     ;    M₁    ;    M₁ = c(1+i

c = 32.500    ;    i = 0,08   ;    n₁ = 12     ;    M₂    ;    M₂ = c(1+i

Y = C₂ – C₁; interés compuesto correspondiente a los dos últimos años.

1°) M₁ = 32.500(1+0,08     ;     M₁ = 32.500×2,158924997    ;    M₁ = 70.165,06

2°) M₂ = 32.500(1+0,08     ;     M₂ = 32.500×2,518170117    ;    M₂ = 81.840,53

3°) Y = C₂ – C₁     ;     Y = 81.840,53 – 70.165,06

Solución: Y = US$ 11.675,47

 

 

 

35)             Un capital de G 1.000.000 ha estado colocado en un banco durante 8 años, al 8% de interés anual compuesto. Determinar el interés ganado en el 5º año.

La solución del problema está dada por el interés simple calculado sobre el monto a interés compuesto previamente determinado hasta el fin del 4º año, conforme se observa en el esquema.

                                                                         I

                

                 Hoy      1          2         3           4           5           6           7         8

                                         n= 4                   M

1º)  Se determina el monto hasta el fin del cuarto año.

 Datos: c= 1.000.000      ;      i= 0,08      ;      n= 4      ;      M = ?

 M = 1.000.000(1+0,08)⁴     ;       M = 1.000.000(1,08)^{4   ;}     M = 1.360.489

 2º) Se calcula el interés simple, sobre el monto hasta el cuarto año: I = cin

 I= 1.360.489(0,08)1    ;     I= G 108.839     ;     n = 1, porque pide interés para un año                     

(Año 5º) Solución: I = G 108.839

36)             Un capital de US$ 650.000 se coloca en un banco al 8% de interés anual compuesto.     

¿De qué capital se podrá disponer al cabo de 10 años, si se extrae al fin del sexto año US$ 350.000?

La solución del problema está dada por la suma algebraica de los montos generados por los capitales. En el esquema se nota que el capital que se retirará está afectado por un signo negativo, este planteamiento conviene cuando, durante la operación, se realizan extracciones de capital.

  c₁ = 650.000                                                  c₂ =  - 350.000                    

                                                                                               n₂ = 4

                                                           

Hoy    1         2          3         4          5            6           7           8         9           10

                                                         n₁ =  10

Puede observarse que el capital c₁ estará colocado por 10 años y  c₂ por 4 años.

Datos:     c₁ = 650.000     ;     i = 0,08       ;       n₁ = 10       ;       M₁ = ?         M = M₁ + M₂

               c₁ = - 350.000   ;     i = 0,08       ;       n₂ = 4         ;       M₂ = ?

1º) M₁ = c_{1        ;}      M₁ = 650.000             ;    M₁ = 1.403.301,25

2º) M₂ = c_{2        ;}       M₂ = - 350.000       ;    M₂ = - 476.171,14

3º) M = M₁ + M₂  (suma algebraica)     ;       M = 1.403.301,25 -  476.171,14

Solución: M = US$ 927.130,11

Observación: La solución del problema está dada también por la diferencia de los montos, utilizando valores positivos para todos, sin embargo, se ha preferido utilizar el valor negativo para ayudar la interpretación del efecto que tiene la extracción respecto al monto. El problema puede solucionarse igualmente de la siguiente manera: Se determina el monto hasta el fin del sexto año, se le resta US$ 350.000 y la diferencia se multiplica por el factor de capitalización al 8%, para 4 años, es decir, calcular un nuevo monto, del sexto al décimo año.

37)             Se ha colocado un capital de US$ 80.000 en un banco que capitaliza semestralmente; al fin del primer año se extrae US$ 28.200. Determinar la tasa de interés anual de la operación, sabiendo que al fin del segundo año se retirará un monto final de US$ 66.150. Con el mismo criterio que los ejercicios 2,3, puede plantearse el problema, a diferencia de que es este caso se tiene como dato la suma algebraica de los montos. (66.150).

Datos: c₁ = 80.000    ;     i = ?       ;    q = 2        ;       n₁ = 2     ;       M₁ = ?

            c₂ = 28.200    ;     i = ?       ;    q = 2        ;       n₂ = 1     ;       M₂ = ?

M = M₁ + M₂ = 66.150      

1º) M₁ = c₁ (1 + i/q)^n1q      _;       M₁ = 80.000(1+i/2)⁴

2º) M₂ = c₂ (1 + i/q)^n2q      _;       M₂ = - 28.200(1+i/2)²

3º) M₁ + M₂ = 66.150       ;       80.000(1+i/2)⁴- 28.200(1+i/2)² = 66.150

Para facilitar la resolución de la ecuación de 4º se hace: (1+i/2)² = x

80.000x² – 28.200x – 66.150 = 0, se divide entre 200.

400x² – 141x – 330,75 = 0; se resuelve la ecuación de segundo grado.

  =         ;    x= 1,1025

El valor negativo de x no se utiliza.

x = 1,1025, se sustituye en  = x    ;      = 1,1025    ;     1 + =

(1 + ) = 1,05       ;          = 1,05 – 1      ;              = 0,05     ;      

Solución: i = 0,10

 

 

 

 

 

 

 

Ejercicios a resolver^[1]

38)             Determinar el interés compuesto producido por un capital de G 2.000.000 en 3 años al 6%  de interés anual. La capitalización se realiza anualmente.

Solución: Y = G 382.032

39)             Determinar el interés al cabo de 5 años, si se coloca un capital de G 200.000 al 8% de interés anual con capitalización trimestral de intereses.

Solución: Y = G 97.190 (valor redondeado)

40)             Calcular el capital definitivo que se puede obtener al cabo de 10 años, si se coloca un capital de G 6.000.000 al 6% de interés anual con capitalización semestral de intereses.

Solución: M = G 10.836.667(valor redondeado).

41)             Determina el monto que se puede obtener al cabo de 4 años, si se colocan, hoy G 1.000.000 y al fin del primer año G 2.000.000, al 12% de interés anual con capitalización semestral de intereses. Para ayudar la interpretación se construye el siguiente gráfico:

Solución: M = G 4.430.886

42)             Determinar las tasas, efectiva y equivalente, correspondientes a la tasa de interés anual del 10%, con capitalización trimestral.

Solución: i´= 0,1038128906  es la tasa efectiva, es decir el rendimiento real que se puede generar en estas condiciones 

 Solución, segunda parte: i₄ = 0, 02411368908 es la tasa equivalente trimestral la que si se capitalizase daría la tasa nominal. Realicemos la prueba

43)             ¿Qué le conviene más a un inversionista que dispone de G 50.000.000?

a)                  Colocar al 34% anual, con capitalización anual.

b)                 Colocar al 31% recibiendo los intereses cada mes.

c)                  Colocar al 30% anual, con capitalización diaria.

Solución: La mejor opción es la “b”

44)             Una persona desea obtener un préstamo de G 50.000.000 a un año, para realizar una inversión. Tres instituciones bancarias le ofrecen el préstamo con las siguientes condiciones respectivamente.

a) Al 34% anual, con capitalización anual.

b) Al 31% recibiendo los intereses cada mes.

c) Al 30% anual, con capitalización diaria.

¿Cuál es su mejor opción?

Solución: La mejor opción es la “a”

45)             Cuántos años tardarán para que un capital de G 75.000 se convierta en G 105.794,91? Tasa de interés anual 7% con capitalización semestral.

Solución: n = 5 años

46)             Determinar el mayor monto que se puede obtener en 5 años a la tasa del 8% de interés anual, correspondiente a un capital de US$ 750.000.

Solución: M = US$ 1.118.868,52

47)             ¿Cuántos años tardarán para que un capital de $ 800.000, se convierta en $ 1.294.955,62; colocado al 7% de interés anual, con capitalización semestral de intereses?

Solución: n = 7 años

48)             Un capital de US$ 1.000.000, colocado en un banco, se convierte en US$ 1.601.032,22 en 12 años. Determinar la tasa de interés anual, sabiendo que los intereses se capitalizan anualmente.

Solución: i = 0,04

49)             Un capital colocado al 5% de interés anual compuesto con capitalización mensual de intereses se convierte, al cabo de 7 años, en G 1.702.591,50. Determinar el capital inicial.

Solución: c = G 1.200.669

50)             Se coloca un capital de $ 1.000.000 a interés compuesto durante 6 años, la tasa de interés en los primeros dos años es el 6,5%, los dos años siguientes 7%, y los últimos años 7,25. Determinar el capital que se dispondrá al cabo de los seis años.

Solución: M = $ 1.493.693, monto al final del 6 año.

 

 

 

 

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[1] Puede encontrarse el desarrollo de los ejercicios propuestos en: https://drive.google.com/file/d/1OuYHUw2yTceIpys4yd_9PPjMGt_mabcc/view?usp=sharing

O solicitar al correo: ramon2857@gmail.com